【倒立振子part1】モデル作成

今回は前回のロードマップのうちの一番初めの項目である

制御モデル

慣性ロータ(フライホイールのほうが正確なのか？)を使用した倒立振子のモデルを作成していく。

モデルのイメージは下記。

パラメータは下記とする。

mp：振子の重量　　　mr：ロータの重量

θp：振子の角度　　　θr：ロータの角度

lp：振子の長さ　　　lr：ロータまでの長さ

Jp：振子の重心周りの慣性モーメント

Jr：ロータの重心周りの慣性モーメント

μp：振子の回転軸周りの粘性摩擦係数

μr：ロータの回転軸周りの粘性摩擦係数

Pi：各要素の重心座標

τw：ロータの発生トルク

ラグランジュの運動方程式を使用してモデルを作成する。

ラグランジュの運動方程式は以下で表せる。(計算するとニュートンの運動方程式と同じになる)

$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L(t)}{\partial \dot{q_i}(t)}\right) -\dfrac{\partial L(t)}{\partial {q_i}(t)}+\dfrac{\partial D(t)}{\partial {q_i}(t)}=f_i$

この時

ラグラジアンLは運動エネルギーKと位置エネルギーUを用いて

$L(t) = K(t) - U(t)$

で表せる。D(t)は損失エネルギー、qiは変数(今回はθpとθr)となる。

またfiは外力であり今回はi=θrの際に発生トルクのτwとなる。

まずモデル作成のために振子とロータの運動エネルギーと位置エネルギーを求める。

振子について

・並進方向

重心座標

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x_p = \dfrac{1}{2}l_p\sin\theta_p \\
y_p = \dfrac{1}{2}l_p\cos\theta_p \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

重心速度

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{x_p} = \dfrac{1}{2}{l_p}\cdot\dot{\theta_p}\cos\theta_p \\
\dot{y_p} = -\dfrac{1}{2}{l_p}\cdot\dot{\theta_p}\sin\theta_p \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

なので

運動エネルギーKptは

$K_{pt}= \dfrac{1}{2}m_p\dot{x_p}^2+\dfrac{1}{2}m_p\dot{y_p}^2 = \dfrac{1}{8}m_p\cdot{l_p}^2\cdot{\dot\theta_p}^2$

位置エネルギーUpは

$U_{p}=m_p\cdot{g}\cdot{y_p}= m_p\cdot{g}\cdot{l_p}\cos{\theta_p}$

・回転方向

回転方向の運動エネルギーKpωは

$K_{p\omega}= \dfrac{1}{2}J_p\dot{\theta_p}^2$

慣性ロータについて

・並進方向

重心座標\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x_r = \dfrac{1}{2}l_r\sin\theta_p \\
y_r = \dfrac{1}{2}l_r\cos\theta_p\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

重心速度\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{x_r} = \dfrac{1}{2}{l_r}\cdot\dot{\theta_p}\cos\theta_p \\
\dot{y_r} = -\dfrac{1}{2}{l_r}\cdot\dot{\theta_p}\sin\theta_p \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

なので

運動エネルギーKrtは

$K_{rt}= \dfrac{1}{2}m_r\dot{x_r}^2+\dfrac{1}{2}m_r\dot{y_r}^2 = \dfrac{1}{8}m_r\cdot{l_r}^2\cdot{\dot\theta_p}^2$